Perkembangan Intellegensi

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Definisi pertumbuhan ialah perubahan secara fisiologis dari hasil proses kematangan fungsi-fungsi jasmani sebagai akibat dari adanya pengaruh lingkungan (Baharuddin, 2009 : 66). Pertumbuhan dapat diartikan sebagai proses berubahnya keadaan jasmaniah (fisik) yang turun-temurun dalam bentuk proses aktif yang berkesinambungan (terstruktur). Sedangkan menurut Nana Syaodih (2003: 111), perkembangan berkenaan dengan peningkatan kualitas, yaitu peningkatan dan penyempurnaan fungsi. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pertumbuhan berkenaan dengan penyempurnaan struktur, sedang perkembangan dengan penyempurnaan fungsi.
Pertumbuhan dan perkembangan mempunyai persamaan yakni suatu peoses perubahan yang menuju kearah kesempurnaan. Kedua istilah tersebut bersifat integral. Adapun perbedaan antara pertumbuhan dan perkembangan adalah berdasarkan aspek-aspek berikut.
a. Pertumbuhan merupakan perubahan yang menuju kesempurnaan beraitan dengan fisik, perkembangan merupakan perubahan yang menuju kesempurnaan berkaitan dengan psikis.
b. Pertumbuhan yang bersifat kuantitatif menyangkut perubahan material yang bersifat biologis, seprti badan menjadi tegap, kaki dan tangan semakin panjang. Adapun perekmbangan merupakan proses perubahan yang bersifat kualitatif yang menyatu pada mutu fungsi orgam-organ jasmaniah atau penyempurnaan fungsi psikologi yang disandang oleg organ-organ fisik. (Baharudin, 2009 : 70).
Tinggi rendahnya mutu hasil perkembangan peserta didik terdiri dari factor-faktor sebagai berikut. (Ngalim Purwanto, 1999: 55).


a. Pembawaan
Pembawaan di tentukan oleh sifat-sifat dan cirri-ciri yang di bawa sejak lahir.
b. Kematangan
Tiap orang dalam tubuh manusia mengalami pertumbuhan dan perkembangan. Tiap organ (fisik maupun psikis) dapat dikatakan telah matang jika ia telah mencapai kesanggupan menjalankan fungsinya masing-masing.
c. Pembentukan
Pembentukan ialah segala keadaan di luar diri seseorang yang mempengaruhi perkembangan intelejensi.
d. Minat dan pembawaan yang khas
Minat mengarahkan perbuatan kepada suatu tujuan dan merupakan dorongan bagi perbuatan itu. Dalam diri manusia terdapat dorongan-dorongan (motif-motif) yang mendorong manusia untuk berinteraksi dengan dunia luar.
e. Kebebasan
Kebebasan berarti bahwa manusia itu dapat memilih metode-metode yang tertentu dalam memecahkan masalah-masalah.
Perkembangan anak pada dasarnya adalah perubahan-perubahan yang terjadi dalam seluruh dimensi yang ada dalam diri anak, baik dimensi fisik, dimensi sosial, dimensi emosi, kognitif (berpikir), dan dimensi spiritual. Dimensi-dimensi perkembangan anak meliputi fisik, sosial, emosi, kognitif, dan spiritual berhubungan erat satu sama lain. Perubahan dalam satu dimensi mempengaruhi dan dipengaruhi oleh dimensi lain. Perkembangan dalam satu dimensi dapat membatasi atau memfasilitasi perkembangan pada dimensi-dimensi lainnya (Sroufe, Cooper, & DeHart 1992; Kostelnik, Soderman, & Whiren 1993 dalam Irwan Nuryana K, 2008).
Pada dasarnya, latar belakang pentingnya mempelajari perkembangan anak adalah bertumpu kepada kepentingan dunia pendidikan. Para tokoh pendidikan ataupun para ahli yang berkecimpung di dunia pendidikan marasa amat berkepentingan untuk memahami “rahasia anak” yang sedang dalam proses “tumbuh-kembang”. Comenius, seorang pendidik pada abad 16-17 mempunyai prinsip bahwa pengajaran harus menarik perhatian anak. Karenanya ia berupaya mempelajari sifat-sifat khas dari anak. Diketemukan bahwa anak tidak sama dengan orang dewasa, sehingga anak tidak boleh dianggap seperti orang dewasa yang bertubuh kecil. (Eddy H dan Soebanoe, 1989 : 19).
Pestalotzi, seorang pendidik anak-anak pada abad 18-19 berprinsip bahwa pendidikan harus sesuai dengan perkembangan jiwa anak. Karenanya, guru yang tanpa pengetahuan tentang kejiwaan anak, tak mampu berbuat banyak atau gagal (Eddy H dan Soebanoe, 1989 : 20).
Dari beberapa pandangan tersebut dapat diungkap bahwa seorang pendidik yang ingin berhasil hendaknya memahami perkembangan jiwa peserta didiknya. Pendidik mestinya memahami perkembangan peserta didik dari segala aspek. Karena perubahan dalam satu dimensi mempengaruhi dan dipengaruhi oleh dimensi lain.
Dari seluruh aspek-aspek perkembangan perserta didik tersebut yang akan dibahas pada makalah ini adalah perkembangan inteligensi peserta didik. Menurut Edward Thorndike dalam Baharuddin (2009), “Intelligence is demonstrable in ability of the individual to make good responses from the stand point of truth or falt”. (Inteligensi ialah kemampuan individu untuk memberikan respons yang tepat (baik), terhadap stimulus yang diterimanya).

B. Permasalahan
1) Bagaimanakah tahap-tahap perkembangan inteligensi peserta didik?
2) Bagaimanakah implementasi perkembangan inteligensi peserta didik dalam pelaksanaan pendidikan di sekolah?




C. Tujuan dan Manfaat
a. Tujuan
1) Mendiskripsikan tahap-tahap perkembangan inteligensi peserta didik?
2) Mengungkap implementasi perkembangan inteligensi peserta didik dalam pelaksanan pendidikan di sekolah
b. Manfaat
1) Menambah bekal pengetahuan dan sebagai bahan kajian pada diskusi kelas mahasiswa Prodi Pendidikan Dasar Konsentrasi Matematika tentang tahap-tahap perkembangan inteligensi peserta didik.
2) Sebagai bahan kajian pada diskusi kelas mahasiswa Prodi Pendidikan Dasar Konsentrasi Matematika tentang implementasi perkembangan inteligensi peserta didik dalam pelaksanan pendidikan di sekolah.


















BAB II
PEMBAHASAN
A. Tahap-tahap Perkembangan Inteligensi Peserta Didik
Inteligensi berarti kecerdasan. Inteligensi adalah kemampuan untuk memperoleh berbagai informasi abstrak, menalar serta bertindak secara efisien dan efektif. Inteligensi juga bisa diartikan sebagai kemampuan untuk menyelesaikan masalah atau produk yang dinilai di dalam satu atau lebih latar budaya. Pola inteligensi yang berbeda menyatukan perwakilan mental yang berfokus pada perbedaan individual. Inteligensi sebagai keseluruhan kemampuan individu untuk berpikir dan bertindak secara terarah, serta kemampuan mengalahkan menguasai lingkungan secara efektif (Baharuddin, 2009 : 116).
Sedangkan istilah “intelektual” menunjukkan kata intelek yang berarti “cendekiawan” atau “cerdik pandai” Intelektual juga menunjukkan suatu aktivitas berpikir. Menurut kamus Webster New World Dictionary of the American Language dalam Baharuddin (2009 : 115), istilah intelect berarti: (a) kecakapan untuk berpikir, mengamati, atau mengerti, kecakapan untuk mengamati hubungan-hubungan, perbedaan-perbedaan, dan sebagainya; (b) kecakapan mental yang besar; dan (c) pikiran atau inteligensi. Jadi inteligensi mengandung unsur-unsur yang sama dengan istilah “intelek”, yang menggambarkan kemampuan seseorang dalam berpikir dan atau bertindak.
Menurut Baharuddin (2009 : 116), pada umur sekitar empat bulan, respon yang bersifat reflex mulai berkurang, pemberian respon terhadap setiap rangsangan telah mulai terkoordinasikan. Sebagai contoh, respon terhadap sinar dan warna mulai ditunjukkan dengan gerakan pandangan mata kea rah asal rangsangan itu dibuktikan.
Perkembangan lebih lanjut tentang perkembangan intelek di tunjukkan pada perilakunya, yaitu tindakan menolak dan memilih sesuatu. Tindakan itu berarti telah mendapatkan proses mempertimbangkan atau proses analisis evaluasi, sampai kemampuan menarik kesimpulan dan keputusan. Fungsi ini telah berkembang mengikuti kekayaan pengetahuannya tentang dunia luar dan proses belajar yang di dalamnya.
Fungsi intelek akan berkembang mengikuti kekayaan pengetahuannya tentang dunia luar serta proses belajarnya, pada saatnya seseorang akan mempunyai kemampuan melakukan pengamatan atau prediksi, perencanaan, dan berbagi kemampuan melakukan analisis dan sintesis. Perkembangan berfikir semacam ini dikenal sebagai perkembangan kognitif. Ada empat tahap perkembangan intelektual menurut teori Piaget, yaitu:
1. Tahap sensi motor (sejak lahir- 2 tahun), yaitu tahap sikuensial tatanan operasi mental yang progresif.
Karakteristik pada tahap ini meliputi:
a. Meniru, mengingat, dan berfikir.
b. Mulai mengenal dunia luar meskipun masih secara samar.
c. Aktivitas gerak refleks.
2. Tahap praoperasional (usia 2-7 tahun), yaitu urutan yang hierarki yang membentuk suatu tatanan operasi mental yang makin mantap dan terpadu. Karakteristik intelektual pada umur ini adalah:
a. Mengembangkan kecakapan berbahasa.
b. Mempunyai kemampuan berpikir dalam bentuk symbol.
c. Berpikir logis.
3. Tahap operasi nyata (usia 7-11 tahun): pencapaian bervariasi berkenaan dengan keterbatasan-keterbatasan tertentu yang menggabungkan pengaruh pemba:
a. Mampu memecahkan masalah yang nyata.
b. Mengerti hokum dan mampu membedakan baik dan buruk.
4. Tahap operasi formal (usia 11 dan seterusnya), yaitu memasukkan pengalaman baru ke dalam pola yang telah ada, akomodasi (mengubah struktur mental yang telah ada berhubungan dengan lingkungan yang berubah), dan equilibrasi (mencapai keseimbangan antara hal-hal yang telah dipahami lebih dahulu dan masukan baru). Karakteristik intelektual pada umur ini adalah:
a. Mampu memecahkan masalah yang abstrak.
b. Dapat berpikir ilmiah.
c. Mengembangkan kepribadian.
Dalam proses pendidikan, intelektual atau intelegensi menentukan perkembangan berpikir seseorang dalam hal belajar. Intelektual atau daya pikir berkembang sejalan dengan pertumbuhan saraf otak karena pikiran pada dasarnya menunjukkan fungsi otak. Diperjelas oleh John Anderson, “The result the study of cognitive psychology have implications for improving intelectual performance. ” Peristiwa belajar yang dialami oleh manusia bukan semata masalah respon terhadap stimulus (rangsangan) yang ada, melainkan adanya self regulation dan self direction yang pengukuran dan pengarahan diri yang dikomtrol oleh otak.
Kemampuan berpikir dipengaruhi oleh kematangan otak yang mampu menunjukkan fungsinya secara baik. Pertumbuhan syaraf yang telah matang akan diikuti oleh fungsinya dengan baik sehingga individu mengalami perkembangan kemampuan berpikirnya, manakala pertumbuhan syaraf pusat atau intelektual akan diawasi oleh kemampuan mengenal untuk mengetahui dunia luar.
Perkembangan intelektual remaja rata-rata berupa pada tahap keempat (kemampuan berfikir abstrak) yang menunjukkan perhatian seseorang kepada kejadian dan peristiwa tidak kekal. Misalnya, pilihan pada pekerjaan, corak hidup masyarakat, pilihan pasangan hidup yang sebenarnya masih jauh di hadapannya, dan lain-lain. Corak prilaku pribadinya di hari depan dan corak tingkah lakunya sekarang akan berbeda. Kemampuan abstraksi akan menentukan kepribadiannya.
Pikiran remaja sering dipengaruhi oleh ide-ide dari teori-teori yang menyebabkan sikap kritis terthadap situasi dan orang tua. Setiap pendapat orang tua dibandingkan dengan teori yang diikuti atau yang diharapkan sehingga tata-cara, adat istiadat yang berlaku di lingkungan keluarga sering terasa terjadi/ ada pertentangan denagan sikap kritis yang tampak pada perilakunya.
Pengaruh egosentrisme terlihat pada pikirannya yang menyebabkan kekakuan dalam cara berpikir maupun bertingkah laku remaja. Persoalan yang timbul pada masa remaja bertalian dengan perkembangan fisik yang dirasakan mencekam dirinya, dia berpikiran bahwa orang lain sepikiran atau tidak puas dengan penampilan dirinya. Egosentrisme dapat juga menimbulkan reaksi lain, yaitu remaja justru melebih-lebihkan diri dalam penilaian terhadap diri sendiri sehingga berani menentang melakukan aktivitas yang berisiko.
B. Implementasi Perkembangan Inteligensi dalam Pendidikan
Untuk dapat memberikan perlakuan-perlakuan pendidikan secara lebih tepat, perlu didasarkan kepada prinsip-prinsip perkembangan. Mendidik bukanlah sekedar memberikan informasi kepada orang lain. Mendidik merupakan proses membantu perkembangan peserta didik menuju kedewasaan menjadi dirinya sendiri. Oleh karenanya pendidik perlu mempelajari dan memahami perilaku peserta didik. Pendidik haruslah mengetahui pada taraf perkembangan apa sebenarnya anak yang dididik itu.
Agar pendidikan benar-benar dapat membantu perkembangan anak didik secara optimal, maka dalam memberikan pendidikan perlu memperhatikan dan mendasarkan diri pada faktor-faktor yang mempengaruhi perkembangan yaitu faktor bawaan, faktor lingkungan, faktor kematangan, dan faktor belajar (Eddy H dan Soebanoe, 1989 : 21). Pendidikan perlu mengintegrasikan faktor-faktor yang mempengaruhi perkembangan sehingga terjadi integrasi antara faktor-faktor tersebut, sehingga akan menimbulkan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan anak dan mencapai tujuan pendidikan.
Anak-anak adalah pembelajar aktif, mengalami langsung pengalaman fisik dan sosial sebagaimana halnya pengetahuan yang ditransmisikan secara kultural untuk menyusun pemahaman-pemahaman mereka sendiri tentang dunia yang ada di sekitar mereka. Anak-anak memiliki kontribusi terhadap perkembangan dan belajar mereka sendiri sebagaimana halnya mereka berusaha untuk menanggapi pengalaman-pengalaman harian mereka di rumah, program usia dini dan komunitas. Prinsip-prinsip dari praktek yang sesuai dengan tahapan perkembangan didasarkan pada teori-teori dominan yang memandang bahwa perkembangan intelektual dari sebuah perspektif konstruktivis-interaktif (Dewey 1916; Piaget 1952; Vygotsky 1978; DeVries & Kohlberg 1990; Rogoff 1990; Gardner 1991; Kamii & Ewing 1996).
Bermain merupakan sebuah instrumen penting bagi perkembangan sosial, emosional, dan kognitif anak-anak, juga sebagai sebuah refleksi atas perkembangan mereka. Memahami bahwa anak adalah konstruktor-konstruktor aktif atas pengetahuan yang dimiliki dan bahwa perkembangan dan belajar sebagai hasil proses interaktif, para guru anak usia dini mengakui bahwa bermain bagi anak merupakan sebuh kontek yang sangat mendukung untuk proses-proses perkembangan tersebut (Piaget 1952; Fein 1981; Bergen 1988; Smilansky & Shefatya 1990; Fromberg 1992; Berk & Winsler 1995).
Perkembangan tingkat lanjut dicapai ketika anak-anak memiliki kesempatan-kesempatan untuk mempraktekkan keterampilan-keterampilan yang baru dikuasai, sebagaimana juga mereka mengalami sebuah tantangan dalam level di atas penguasaan mereka sekarang ini. Penelitian-penelitian mendemonstrasikan bahwa anak-anak perlu untuk mampu menegosiasikan sebagian besar tugas-tugas belajar dengan sukses untuk memelihara motivasi dan keteguhan mereka (Lary 1990; Brophy 1992). Dihadapkan pada kegagalan yang berulang, kebanyakan anak-anak berhenti untuk mencoba. Implikasinya adalah bahwa pada sebagian besar waktu para guru seharusnya menyediakan anak-anak dengan tugas-tugas yang dengan usaha-usahanya mereka dapat menyelesaikan dan mempresentasikannya sesuai dengan tingkat pemahaman mereka.
Anak-anak menunjukkan cara-cara yang berbeda dalam mengetahui dan belajar, dan cara-cara yang berbeda dalam merepresentasikan apa yang mereka ketahui. Pada kurun waktu tertentu, para teoritisi belajar dan ahli psikologi perkembangan telah mengakui bahwa manusia terlahir untuk memahami dunia dalam cara-cara yang beragam dan bahwa setiap individu cenderung memiliki preferensi atau model belajar tertentu. Studi-studi perbedaan dalam modalitas belajar telah menemukan hal yang kontras antara pembelajar visual, auditori, atau taktil. Sementara karya yang lain telah mengidentifikasi jenis pembelajar mandiri atau dependen (Witkin 1962).
Gardner (1983) memperluas konsep ini dengan berteori bahwa manusia paling tidak memiliki tujuh “intelegensi.” Sebagai tambahan terhadap kecerdasan tradisional yang penting bagi keberhasilan sekolah yaitu kecerdasan bahasa dan logika matematis, setiap individu paling tidak memiliki kecerdasan dalam bidang-bidang lain: musikal, spasial, kinestetik tubuh, intrapersonal dan interpersonal. Malaguzzi (1993) menggunakan metaphor “100 bahasa” untuk menggambarkan modalitas yang beragam yang digunakan anak-anak untuk memahami dunia dan merepresentasikan pengetahuan mereka. Proses-proses merepresentasikan pemahaman yang mereka miliki, dengan bantuan guru-guru, dapat membantu anak-anak memperdalam, memperbaiki, dan memperluas pemahaman mereka (Copple, Sigel, & Saunders 1984; Forman 1994; Katz 1995).
Prinsip modalitas yang beragam memberi implikasi bahwa para guru seharusnya menyediakan bukan hanyak kesempatan-kesempatan setiap anak secara individual menggunakan preferensi model belajarnya sebagai menjadi modal kekuatan mereka (Hale-Benson 1986) tetapi juga kesempatan-kesempatan untuk membantu anak-anak mengembangkan intelegensi-intelegensi yang mereka sadari tidak begitu menonjol.
Perkembangan anak-anak dalam semua bagiannya dipengaruhi oleh abilitas mereka untuk membangun dan memelihara sebuah hubungan primer yang positif secara konsisten dengan orang-orang dewasa dan anak-anak yang lain (Bowlby 1969; Stern 1985; Garbarino et al. 1992). Hubungan-hubungan primer ini berawal dalam keluarga tetapi kemudian meluas seiring berjalannya waktu termasuk guru-guru anak-anak dan anggota-anggota komunitas; oleh karena itu, praktek-praktek yang sesuai dengan tahapan perkembangan seharusnya memperhatikan dengan baik kebutuhan-kebutuhan fisik, sosial, dan emosi sebagaimana halnya perkembangan intelektual.



















BAB III
SIMPULAN DAN PENUTUP
A. Simpulan
Pertumbuhan dan perkembangan pada dasarnya adalah perubahan, perubahan menuju ke tahap yang lebih tinggi atau lebih baik. Ada beberapa perbedaan antara pertumbuhan dengan perkembangan. Pertumbuhan lebih banyak berkenaan dengan apek-aspek jasmani atau fisik, sedangkan perkembangan dfengan aspek-aspek psikis atau rohaniah.
Faktor-faktor yang mempengaruhi intelegensi seseorang adalah sebagai berikut:
1. Pembawaan
2. Kematangan
3. Pembentukan
4. Minat dan pembawaan yang khas
5. Kebebasan
Ada empat tahap perkembangan intelektual menurut teori Piaget, yaitu:
1. Tahap sensi motor (sejak lahir- 2 tahun), yaitu tahap sikuensial tatanan operasi mental yang progresif.
2. Tahap praoperasional (usia 2-7 tahun), yaitu urutan yang hierarki yang membentuk suatu tatanan operasi mental yang makin mantap dan terpadu.
3. Tahap operasi nyata (usia 7-11 tahun): pencapaian bervariasi berkenaan dengan keterbatasan-keterbatasan tertentu yang menggabungkan pengaruh pembaan dengan lingkungan sekitar.
4. Tahap operasi formal (usia 11 dan seterusnya), yaitu memasukkan pengalaman baru ke dalam pola yang telah ada, akomodasi (mengubah struktur mental yang telah ada berhubungan dengan lingkungan yang berubah), dan equilibrasi (mencapai keseimbangan antara hal-hal yang telah dipahami lebih dahulu dan masukan baru). Read More..

PMRI Inovasi Pembelajaran Matematika

PMRI (PEMBELAJARAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA)
SUATU INOVASI DALAM PENDIDIKAN MATEMATIKA DI INDONESIA

Oleh :
DARSONO NIM : 0103509003
S2 MATEMATIKA


A. Latar Belakang
Dikeluarkannya Permen No. 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi (SI) adalah merupakan salah satu kelanjutan upaya pemerintah untuk memajukan pendidikan. Hal tersebut terlihat pada Undang-Undang Nomor 20 Tahun 2003 Tentang Sistem Pendidikan Nasional. Undang-undang ini mengamanatkan pembaharuan yang besar dalam sistem pendidikan di Indonesia.
Menurut Permen No. 22 Tahun 2006, mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Hal senada juga diungkapkan oleh Soedjadi (2004) bahwa pendidikan matematika memiliki dua tujuan besar yang meliputi: (1) tujuan yang bersifat formal yang memberi tekanan pada penataan nalar anak serta pembentukan pribadi anak, dan (2) tujuan yang bersifat material yang memberi tekanan pada penerapan matematika serta kemampuan memecahkan masalah matematika. Dari tujuan di atas terlihat bahwa matematika sangat penting untuk menumbuhkan penataan nalar atau kemampuan berpikir logis serta sikap positif siswa yang berguna dalam mempelajari ilmu pengetahuan maupun dalam penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai landasan pembelajaran untuk mengembangkan kemampuan tersebut disusun standar kompetensi dan kompetensi dasar matematika. Standar kompetensi dan kompetensi dasar dijadikan sebagai landasan guru untuk menyusun program dan kegiatan belajar-mengajar di kelas.
Upaya-upaya pembaharuan dalam sistem pendidikan tersebut dilakukan sebagai respon dari banyaknya permasalahan dalam pendidikan di Indonesia. Permasalahan tersebut juga terjadi pada mata pelajaran matematika. Masalah umum pada matematika seperti rendahnya daya saing di ajang international, rendahnya rata-rata NEM nasional, serta rendahnya minat belajar matematika, matematika terasa sulit karena banyak guru matematika mengajarkan matematika dengan materi dan metode yang tidak menarik dimana guru menerangkan atau 'teacher telling' sementara murid mencatat. Salah satu penyebab permasalahan tersebut adalah secara umum pendekatan pengajaran matematika di Indonesia masih menggunakan pendekatan tradisional atau mekanistik yang menekankan proses 'drill and practice', prosedural serta menggunakan rumus dan algoritma sehingga siswa dilatih mengerjakan soal seperti mekanik atau mesin. Konsekwensinya bila mereka diberikan soal yang beda dengan soal latihan mereka akan membuat kesalahan atau 'error' seperti terjadi pada komputer. Begitu pula mereka tidak terbiasa memecahkan masalah yang banyak di sekeliling mereka.
Perhatian pemerintah dan pakar pendidikan matematika diberbagai negara untuk meningkatkan kemampuan matematika siswa dalam rangka mengatasi rendahnya aktivitas dan hasil belajar matematika, telah diuji-cobakan penggunaan pembelajaran matematika secara kontekstual dan humanistik seperti yang telah dikembangkan di negara-negara maju. Misalnya di Belanda telah dikembangkan pendekatan pembelajaran dengan nama Realistic Mathematics Education (RME). Di Amerika Serikat dikembangkan suatu pendekatan pembelajaran yang disebut contextual teaching and learning. Menurut Becker dan Shimada (1997: 2), di negara Sakura Jepang saat ini sedang dipopulerkan pendekatan yang dikenal the open-ended approach. Di negara tetangga Singapura, pendekatan pembelajaran di sekolah dikenal dengan nama concrete-victorial-abstract approach . Peningkatan aktivitas dan hasil belajar matematika siswa diduga dapat dilakukan melalui perantaraan benda-benda konkrik dan gambar-gambar yang menarik perhatian siswa. Leader, et al. (1995: 78), bahwa di negara Kangguru Australia sedang dipopulerkan pembelajaran matematika melalui pemahaman konteks yang disebut mathematics in context.
Sedangkan di Indonesia sendiri tengah dipopulerkan Pembelajaran Matematika Realistik Indonesia atau disingkat PMRI. Pendekatan matematika realistik ini sesuai dengan perubahan paradigma pembelajaran, yaitu dari paradigma mengajar ke paradigma belajar atau perubahan paradigma pembelajaran yang berpusat pada guru ke paradigma pembelajaran yang berpusat pada siswa. Hal ini adalah salah satu upaya dalam rangka memperbaiki mutu pendidikan matematika (Sahat Saragih).
B. Mengenal Pendekatan Matematika Realistik Indonesia (PMRI)
Realistic Mathematics Education (RME) yang di Indonesia lebih dikenal dengan Pendekatan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) tidak dapat dipisahkan dari Institut Freudenthal. Institut ini didirikan pada tahun 1971, berada di bawah Utrecht University, Belanda. Nama institut diambil dari nama pendirinya, yaitu Profesor Hans Freudenthal (1905 – 1990). Sejak tahun 1971, Institut Freudenthal mengembangkan suatu pendekatan teoritis terhadap pembelajaran matematika yang dikenal dengan RME (Realistic Mathematics Education). RME menggabungkan pandangan tentang apa itu matematika, bagaimana siswa belajar matematika, dan bagaimana matematika harus diajarkan. Freudenthal berkeyakinan bahwa siswa tidak boleh dipandang sebagai passive receivers of ready-made mathematics (penerima pasif matematika yang sudah jadi). Menurutnya pendidikan harus mengarahkan siswa kepada penggunaan berbagai situasi dan kesempatan untuk menemukan kembali matematika dengan cara mereka sendiri. Banyak soal yang dapat diangkat dari berbagai situasi (konteks), yang dirasakan bermakna sehingga menjadi sumber belajar. Konsep matematika muncul dari proses matematisasi, yaitu dimulai dari penyelesaian yang berkait dengan konteks (context-link solution), siswa secara perlahan mengembangkan alat dan pemahaman matematik ke tingkat yang lebih formal. Model model yang muncul dari aktivitas matematik siswa dapat mendorong terjadinya interaksi di kelas, sehingga mengarah pada level berpikir matematik yang lebih tinggi.
Dua pandangan penting beliau adalah ‘mathematics must be connected to reality and mathematics as human activity ’. Pertama, matematika harus dekat terhadap siswa dan harus relevan dengan situasi kehidupan sehari-hari. Kedua, ia menekankan bahwa matematika sebagai aktivitas manusia, sehingga siswa harus di beri kesempatan untuk belajar melakukan aktivitas semua topik dalam matematika.
Menurut Soedjadi(2004), matematika realistik dikembangkan berdasarkan pandangan Freudenthal yang berpendapat bahwa matematika merupakan kegiatan manusia yang lebih menekankan aktivitas siswa untuk mencari, menemukan, dan membangun sendiri pengetahuan yang diperlukan sehingga pembelajaran menjadi terpusat pada siswa.
Hans Freudenthal berpendapat bahwa matematika merupakan aktivitas insani (human activities) dan harus dikaitkan dengan realitas. Berdasarkan pemikiran tersebut, PMR mempunyai ciri antara lain, bahwa dalam proses pembelajaran siswa harus diberikan kesempatan untuk menemukan kembali (to reinvent) matematika melalui bimbingan guru (Gravemeijer, 1994), dan bahwa penemuan kembali (reinvention) ide dan konsep matematika tersebut harus dimulai dari penjelajahan berbagai situasi dan persoalan “dunia riil” (de Lange, 1995).
RME adalah pendekatan pengajaran yang bertitik tolak dari hal-hal yang 'real' bagi siswa, menekankan ketrampilan 'proses of doing mathematics', berdiskusi dan berkolaborasi, berargumentasi dengan teman sekelas sehingga mereka dapat menemukan sendiri ('student inventing' sebagai kebalikan dari 'teacher telling') dan pada akhirnya menggunakan matematika itu untuk menyelesaikan masalah baik secara individu maupun kelompok. Pada pendekatan ini peran guru tak lebih dari seorang fasilitator, moderator atau evaluator sementara siswa berfikir, mengkomunikasikan 'reasoningnya', melatih nuansa demokrasi dengan menghargai pendapat orang lain.
Yang dimaksud “dunia riil” adalah segala sesuatu di luar matematika. Ia bisa berupa mata pelajaran lain selain matematika, atau bidang ilmu yang berbeda dengan matematika, ataupun kehidupan sehari-hari dan lingkungan sekitar kita (Blum & Niss, 1989). Dunia riil diperlukan untuk mengembangkan situasi kontekstual dalam menyusun materi kurikulum. Materi kurikulum yang berisi rangkaian soal-soal kontekstual akan membantu proses pembelajaran yang bermakna bagi siswa. Dalam PMR, proses belajar mempunyai peranan penting. Rute belajar (learning route) di mana siswa mampu menemukan sendiri konsep dan ide matematika, harus dipetakan (Gravemeijer, 1997). Sebagai konsekuensinya, guru harus mampu mengembangkan pengajaran yang interaktif dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk memberikan kontribusi terhadap proses belajar mereka.
Dari prinsip di atas diperoleh kesimpulan bahwa Pendekatan Matematika Realistik (PMR) secara garis besar memiliki lima karakteristik. Menurut Treffers dan Van den Heuvel-Panhuizen dalam Suharta (2005:2), karakteristik RME adalah menggunakan konteks “dunia nyata”, model-model, produksi dan konstruksi siswa, interaktif dan keterkaitan (intertwinment) dan dijelaskan sebagai berikut :
1) Menggunakan konteks “dunia nyata”
Dalam RME, pembelajaran diawali dengan masalah kontekstual (inti) dari konsep yang sesuai dari situasi nyata yang dinyatakan oleh De Lange sebagai matematisasi konseptual. Melalui abstraksi dan formalisasi siswa akan mengembangkan konsep yang lebih komplit. Kemudian siswa dapat mengaplikasikan konsep-konsep matematika ke bidang baru dari dunia nyata (applied mathematization). Oleh karena itu, untuk menjembatani konsep-konsep matematika dengan pengalaman anak sehari-hari perlu diperhatikan matematisi pengalaman sehari-hari (mathematization of everyday experience) dan penerapan matematika dalam sehari-hari.
2) Menggunakan model-model (matematisasi)
Istilah model berkaitan dengan model situasi dan model matematik yang dikembangkan oleh siswa sendiri (self developed models). Peran self developed models merupakan jembatan bagi siswa dari situasi real ke situasi abstrak atau dari matematika informal ke matematika formal. Artinya siswa membuat model sendiri dalam menyelesaikan masalah. Pertama adalah model situasi yang dekat dengan dunia nyata siswa. Generalisasi dan formalisasi model-model tersebut akan berubah menjadi model-of masalah tersebut. Melalui penalaran matematik model-of akan bergeser menjadi model-for masalah sejenis. Pada akhirnya, akan menjadi model matematika formal.
3) Menggunakan produksi dan konstruksi
Dengan pembuatan “produksi bebas” siswa terdorong untuk melakukan refleksi pada bagian yang mereka anggap penting dalam proses belajar. Strategi-strategi informal siswa yang berupa prosedur pemecahan masalah kontekstual merupakan sumber inspirasi dalam pengembangan pembelajaran lebih lanjut yaitu untuk mengkonstruksi pengetahuan matematika formal.
4) Menggunakan interaktif
Interaksi antar siswa dengan guru merupakan hal yang mendasar dalam RME. Secara eksplisit bentuk-bentuk interaksi yang berupa negosiasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, pertanyaan atau refleksi digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-bentuk informal siswa.
5) Menggunakan keterkaitan (intertwinment)
Dalam RME pengintegrasian unit-unit matematika adalah esensial. Jika dalam pembelajaran kita mengabaikan keterkaitan dengan bidang yang lain, maka akan berpengaruh pada pemecahan masalah. Dalam mengaplikasikan matematika, biasanya diperlukan pengetahuan yang lebih kompleks, dan tidak hanya aritmetika, aljabar, atau geometri tetapi juga bidang lain.
Menurut Sutarto Hadi, berdasarkan karakteristik tersebut RME mempunyai konsepsi tentang siswa sebagai berikut:
1) Siswa memiliki seperangkat konsep laternatif tentang ide-ide matematika yang mempengaruhi belajar selanjutnya;
2) Siswa memperoleh pengetahuan baru dengan membentuk pengetahuan itu untuk dirinya sendiri;
3) Pembentukan pengetahuan merupakan proses perubahan yang meliputi penambahan, kreasi, modifikasi,penghalusan, penyusunan kembali, dan penolakan;
4) Pengetahuan baru yang dibangun oleh siswa untuk dirinya sendiri berasal dari seperangkat ragam pengalaman;
5) Setiap siswa tanpa memandang ras, budaya dan jenis kelamin mampu memahami dan mengerjakan matematik.

RME juga mempunyai konsepsi tentang guru sebagai berikut:
1) Guru hanya sebagai fasilitator belajar;
2) Guru harus mampu membangun pengajaran yang interaktif;
3) Guru harus memberikan kesempatan kepada siswa untuk secara aktif menyumbang pada proses belajar dirinya, dan secara aktif membantu siswa dalam menafsirkan persoalan riil; dan
4) Guru tidak terpancang pada materi yang termaktub dalam kurikulum, melainkan aktif mengaitkan kurikulum dengan dunia-riil, baik fisik maupun sosial.
Begitu pula RME mempunyai konsepsi tentang pembelajaran, bahwa pengajaran matematika dengan pendekatan RME meliputi aspek-aspek berikut (De Lange, 1995 dalam Sutarto Hadi):
1) Memulai pelajaran dengan mengajukan masalah (soal) yang “riil” bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat pengetahuannya, sehingga siswa segera terlibat dalam pelajaran secara bermakna;
2) Permasalahan yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pelajaran tersebut;
3) Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik secara informal terhadap persoalan/masalah yang diajukan;
4) Pengajaran berlangsung secara interaktif: siswa menjelaskan dan memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya (siswa lain), setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif penyelesaian yang lain; dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil pelajaran.
Sejalan dengan paradigma baru pendidikan sebagaimana yang dikemukakan oleh Zamroni, (2000), pada aspek prilaku diharapkan siswa mempunyai ciri-ciri:
1) di kelas mereka aktif dalam diskusi, mengajukan pertanyaan dan gagasan, serta aktif dalam mencari bahan-bahan pelajaran yang mendukung apa yang tengah dipelajari;
2) mampu bekerja sama dengan membuat kelompok-kelompok belajar;
3) bersifat demokratis, yakni berani menyampaikan gagasan, mempertahankan gagasan dan sekaligus berani pula menerima gagasan orang lain;
4) memiliki kepercayaan diri yang tinggi.
Menurut M. Asikin (2010), untuk mendesain suatu model pembelajaran berdasarkan pendekatan realistik, model tersebut harus merepresentasikan karakteristik RME baik pada tujuan, materi, metode dan evaluasi. Dengan rambu-rambu sebagai berikut.
1) Tujuan.
Tujuan haruslah mencakup ketiga level tujuan dalam RME yakni lower level, middle level, and higher order level. Dua tujuan terakhir, menekankan pada kemampuan berargumentasi, berkomunikasi dan pembentukan sikap kritis.
2) Materi.
Desain suatu ‘open material’ yang berangkat dari suatu situasi dalam realitas, berangkat dari konteks yang berarti dalam kehidupan.
3) Aktivitas.
Aktivitas siswa diatur sehingga mereka dapat berinteraksi sesamanya, diskusi, negosiasi, dan kolaborasi. Pada situasi ini siswa mempunyai kesempatan untuk bekerja, berfikir dan berkomunikasi dengan menggunakan matematika. Peranan guru hanya sebatas fasilitator atau pembimbing.
4) Evaluasi.
Materi evaluasi dibuat dalam bentuk ‘open question’ yang memancing siswa untuk menjawab secara bebas dan menggunakan beragam strategi atau beragam jawaban (free productions).
Tahapan pembelajaran yang dilaksanakan di kelas, secara umum (menurut model dari Connected Mathematics Project) terdiri dari tahap orientasi, tahap eksplorasi/penelusuran, dan tahap penyimpulan.
Pada tahap orientasi selain disampaikan sasaran pembelajaran, pemberian masalah kontekstual yang masih bersifat umum, diberikan pula masalah kontekstual yang sudah mengarah ke sasaran pembelajaran. Sedangkan inti dari tahap eksplorasi adalah aktivitas siswa yang dapat berupa: pemunculan gagasan atau pembentukan model, pengkomunikasian gagasan atau model, pertukaran gagasan/pembukaan situasi konflik, negosiasi. Pada tahap penyimpulan diberikan rangkuman, yang dilanjutkan dengan pemberian pertanyaan rangkuman (summary questions) dan pemberian tugas rumah (M. Asikin, 2010).
Adapun langkah-langkah pembelajaran pendekatan Realistic Mathematic Education (RME) menurut Suharta (2005:5) adalah sebagai berikut.
Aktivitas Guru Aktivitas Siswa
1. Guru memberikan siswa masalah kontekstual.
2. Guru merespon secara positif jawaban siswa. Siswa diberi kesempatan untuk memikirkan strategi siswa yang paling efektif.
3. Guru mengarahkan siswa pada beberapa masalah kontekstual dan selanjutnya mengerjakan masalah dengan menggunakan pengalaman mereka.
4. Guru mendekati siswa sambil memberikan bantuan seperlunya.
5. Guru mengenalkan istilah konsep.
6. Guru memberikan tugas di rumah, yaitu mengerjakan soal atau membuat masalah cerita serta jawabannya sesuai dengan matematika formal. 1) Siswa secara mandiri atau kelompok kecil mengerjakan masalah dengan strategi-strategi informal.
2) Siswa memikirkan strategi yang paling efektif.

3) Siswa secara sendiri-sendiri atau berkelompok menyelesaikan masalah tersebut.
4) Beberapa siswa mengerjakan di papan tulis, melalui diskusi kelas, jawaban siswa dikonfrontasikan.
5) Siswa merumuskan bentuk matematika formal.
6) Siswa mengerjakan tugas rumah dan menyerahkannya kepada guru.

C. PMRI (Pembelajaran Matematika Realistik Indonesia) Suatu Inovasi Dalam Pendidikan Matematika di Indonesia
Perubahan paradigma pembelajaran dari pandangan mengajar ke pandangan belajar atau pembelajaran yang berpusat pada guru ke pembelajaran yang berpusat pada siswa membawa konsekuensi perubahan yang mendasar dalam proses pembelajaran di kelas. Perubahan tersebut menuntut agar guru tidak lagi sebagai sumber informasi, melainkan sebagai teman belajar. Siswa dipandang sebagai makhluk yang aktif dan memiliki kemampuan untuk membangun pengetahuannya sendiri.
Untuk mendukung proses pembelajaran yang sesuai dengan perubahan tersebut dan sesuai dengan tujuan pendidikan matematika, diperlukan suatu pengembangan materi pelajaran matematika yang difokuskan pada aplikasi dalam kehidupan sehari-hari (kontekstual) dan disesuaikan dengan tingkat kognitif siswa, serta penggunaan metode evaluasi yang terintegrasi pada proses pembelajaran tidak hanya berupa tes pada akhir pembelajaran (Subandar, 2001).
Ditinjau dari perubahan kurikulum yang saat ini sedang diberlakukan, yaitu Kurikulum 2006, pendekatan matematika realistik adalah salah satu pendekatan pembelajaran yang sesuai dengan perubahan tersebut. Kurikulum 2006 mengamanatkan bahwa, dalam setiap kesempatan, pembelajaran matematika hendaknya dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Dalam RME, pembelajaran diawali dengan masalah kontekstual (inti) dari konsep yang sesuai dari situasi nyata yang dinyatakan oleh De Lange sebagai matematisasi konseptual. Melalui abstraksi dan formalisasi siswa akan mengembangkan konsep yang lebih komplit. Kemudian siswa dapat mengaplikasikan konsep-konsep matematika ke bidang baru dari dunia nyata (applied mathematization). Oleh karena itu, untuk menjembatani konsep-konsep matematika dengan pengalaman anak sehari-hari perlu diperhatikan matematisi pengalaman sehari-hari (mathematization of everyday experience) dan penerapan matematika dalam sehari-hari.
Teori PMR sejalan dengan teori belajar yang berkembang saat ini, seperti konstruktivisme dan pembelajaran kontekstual (cotextual teaching and learning, disingkat CTL) . Namun, baik pendekatan konstruktivis maupun CTL mewakili teori belajar secara umum, PMR adalah suatu teori pembelajaran yang dikembangkan khusus untuk matematika. Konsep PMR sejalan dengan kebutuhan untuk memperbaiki pendidikan matematika di Indonesia yang didominasi oleh persoalan bagaimana meningkatkan pemahaman siswa tentang matematika dan mengembangkan daya nalar.
Matematika Realistik yang pertama kali dikembangkan di Negeri Belanda dan telah menempatkan negara tersebut pada posisi ke-7 dari 38 negara peserta TIMSS tahun 1999 (Mullis et al., 2000). Matematika realistik juga telah diadopsi oleh banyak negara maju seperti Inggris, Jerman, Denmark, Spanyol, Portugal, Afrika Selatan, Brasilia, Amerika Serikat, Jepang, dan Malaysia (Zulkardi, 2001). Salah satu hasil yang dicapai oleh negara-negara tersebut adalah prestasi siswa yang meningkat, baik secara nasional maupun internasional (Romberg, 1998). Hasil studi di Puerto Rico menyebutkan bahwa prestasi siswa yang mengikuti program pembelajaran matematika dengan pendekatan matematika realistik berada pada persentil ke-90 ke atas (Turmudi, 2004; Haji, 2005), suatu prestasi yang sangat fantastis untuk mata pelajaran matematika yang banyak dipandang siswa sebagai mata pelajaran yang sangat menakutkan dan membosankan.
Di Indonesia, beberapa hasil penelitian menunjukkan bahwa penerapan pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan pembelajaran tradisional. Beberapa penelitian tersebut antara lain adalah :
1) Penelitian yang dilakukan Fauzan (2002), menemukan bahwa hasil pembelajaran geometri siswa kelas IV dan V SD dengan pendekatan matematika realistik pada tes akhir lebih tinggi daripada pembelajaran secara tradisional.
2) Hasil penelitian Armanto (2002), menemukan bahwa hasil pembelajaran perkalian dan pembagian bilangan besar siswa kelas IV SD dengan pendekatan matematika realistik lebih baik daripada pembelajaran secara tradisional.
3) Penelitian yang dilaksanakan oleh Kamiluddin (2007:48), berkesimpulan bahwa hasil belajar siswa kelas IV SD Negeri 8 Baruga Kendari pada pokok bahasan penjumlahan dan pengurangan pecahan dapat ditingkatkan melalui pendekatan Realistic Mathematic Education (RME).
4) Skripsi Hustiawan Cahyono (2009) menyimpulkan bahwa penerapan Pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik Indonesia (PMRI) dapat meningkatkan mrestasi melajar miswa pada materi Bangun Ruang di Kelas VIII D SMP Negeri 5 Malang.
Menurut Turmudi (2004), pembelajaran matematika dengan pendekatan matematika realistik sekurang-kurangnya telah mengubah minat siswa menjadi lebih positif dalam belajar matematika. Hal ini berarti bahwa pendekatan matematika realistik dapat mengakibatkan adanya perubahan pandangan siswa terhadap matematika dari matematika yang menakutkan dan membosankan ke matematika yang menyenangkan sehingga keinginan untuk mempelajari matematika semakin besar.
Dengan adanya perubahan pandangan yang selama ini menganggap matematika sebagai pelajaran yang menakutkan, diharapkan siswa mulai menyenangi, tertarik dan termotivasi untuk belajar matematika. Sehingga tujuan pembelajaran matematika yaitu membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama akan lebih tercapai. Sebagai konsekuensinya perlu diperhatikan pendekatan pembelajaran yang digunakan di kelas. Ruseffendi (2001) berpendapat bahwa untuk membudayakan berpikir logis serta bersikap kritis dan kreatif proses pembelajaran dapat dilakukan dengan pendekatan matematika realistik. Selanjutnya dikatakan, jika kita (guru) rajin memperhatikan lingkungan dan mengaitkan pembelajaran matematika dengan lingkungan maka besar kemungkinan berpikir logis siswa itu akan tumbuh.
Tujuan pendidikan matematika yang lain adalah penekanannya pada pembentukan sikap siswa. Dalam proses pembelajaran matematika perlu diperhatikan sikap positif siswa terhadap matematika. Hal ini penting mengingat sikap positif terhadap matematika berkorelasi positif dengan prestasi belajar matematika (Ruseffendi, 1988). Untuk menumbuhkan sikap positif terhadap matematika, perlu diperhatikan agar penyampaian matematika dapat menyenangkan, mudah dipahami, tidak menakutkan, dan tunjukkan bahwa matematika banyak kegunaannya. Oleh karena itu, materi harus dipilih dan disesuaikan dengan lingkungan yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari (kontekstual) dan tingkat kognitif siswa, dimulai dengan cara-cara informal melalui pemodelan sebelum dengan cara formal. Hal ini sesuai dengan karakteristik pendekatan matematika realistik.
Untuk mencapai tujuan pendidikan matematika tersebut, dapat dicapai melalui inovasi proses pembelajaran matematika di kelas. Melakukan pembelajaran bermakna yang diharapkan dapat mengembangkan kemampuan berpikir logis dan sikap siswa terhadap matematika. Perlu perubahan pembelajaran dari paradigma mengajar ke paradigma belajar atau pembelajaran yang berpusat pada guru ke pembelajaran yang berpusat pada siswa. Upayakan proses pembelajaran yang menyenangkan. Tunjukkan bahwa matematika sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari sehingga matematika tidak dipandang sebagai sesuatu yang menyeramkan. Penilaian harus dilakukan terhadap keseluruhan, baik proses maupun hasil dalam rangka untuk memperbaiki proses pembelajaran, bukan merupakan akhir dari proses pembelajaran. Perubahan paradigma pembelajaran tersebut sesuai dengan paham konstruktivisme yang menyatakan bahwa pengetahuan matematika tidak dapat diajarkan oleh guru, melainkan harus dibangun sendiri oleh siswa. Paham ini mendasari pendekatan matematika realistik. Sehingga pendekatan matematika realistik layak dipertimbangkan untuk digunakan di jenjang pendidikan dasar di Indonesia untuk mencapai tujuan pembelajaran matematika.
\Pada simpulan salah satu jurnal ilmiahnya, Sahat Saragih menuliskan berdasarkan kajian teori yang telah dikemukakan maupun hasil penelitian yang telah dilakukan baik di dalam negeri maupun di luar negeri menunjukkan bahwa pendekatan matematika realistik layak dipertimbangkan untuk digunakan di jenjang pendidikan dasar di Indonesia dalam rangka untuk meningkatkan berpikir logis dan sikap siswa terhadap matematika yang pada akhirnya dapat meningkatkan hasil belajar siswa dalam matematika.

D. Perkembangan PMRI (Pembelajaran Matematika Realistik Indonesia) di Indonesia
RME awalnya dikembangkan di Belanda. Teori RME telah digunakan di beberapa sekolah di Amerika Serikat (AS) sebagai bagian dari proyek kolaboratif, Matematika dalam Konteks (MIC), antara Freudenthal Institute (FI), Utrecht University dan University Wisconsin. Data menunjukkan bahwa kerjasama internasional ini telah menjadi perusahaan yang bermanfaat, dalam arti bahwa 'hikmat praktek' dari bertahun-tahun di Belanda telah digunakan sebagai titik awal bagi pengembangan kurikulum di Amerika Serikat. (de Lange, 1994). Setelah siswa di beberapa distrik sekolah dari negara yang berbeda menggunakan bahan-bahan, penelitian pendahuluan menunjukkan bahwa prestasi siswa dalam ujian nasional meningkat pesat (de Lange, 1998). Di Belanda, juga ada hasil positif dari penggunaan materi kurikulum RME. Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) Hasil penelitian menunjukkan bahwa siswa di Belanda mencetak gol yang sangat dalam matematika (Mullis et al. 2000).
Terinspirasi oleh filosofi RME tersebut, satu kelompok yang kemudian disebut Tim Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI), mengembangkan suatu pendekatan untuk meningkatkan pembelajaran matematika di sekolah-sekolah Indonesia. Hal ini dikenal sebagai PMRI, sebuah adaptasi dari RME dalam Bahasa Indonesia. Hal ini dikembangkan melalui kajian desain dalam kelas di Indonesia, kemudian menjadi gerakan untuk mereformasi pendidikan matematika di Indonesia. Gerakan tidak hanya menerapkan cara baru pengajaran dan pembelajaran matematika, tetapi dikaitkan dengan dorongan untuk mencapai transformasi sosial di Indonesia.
Pendekatan untuk mereformasi diadopsi oleh PMRI meliputi:
- Bottom-up pelaksanaan;
- Bahan dan kerangka kerja berdasarkan kelas dan dikembangkan melalui penelitian;
- Guru secara aktif terlibat dalam merancang penyelidikan dan mengembangkan bahan-bahan yang terkait;
- Hari-demi-hari pelaksanaan strategi yang memungkinkan siswa untuk menjadi pemikir yang lebih aktif;
- Konteks perkembangan dan materi yang secara langsung berkaitan dengan lingkungan sekolah dan kepentingan murid.
Pada dasarnya, PMRI menggunakan strategi bottom-up, dengan pendekatan dan materi yang sebagian besar dikembangkan di dalam kelas daripada di belakang meja petugas kurikulum. Reformasi pendidikan matematika di Indonesia telah dimulai di kelas dan guru telah mengubah pendekatan pengajaran matematika sebagai hasil dari keterlibatan mereka dengan bahan-bahan baru, buku pelajaran, penyelidikan, eksperimen, in-service pendidikan dan pelatihan dalam kelas. Eksperimen kelas ini tidak hanya menyediakan dasar untuk pengembangan dan penyempurnaan teori PMRI, tetapi juga memberitahu mereka yang terlibat dalam pengembangan pelatihan bagi para guru dan penulisan buku pelajaran siswa.
Di Indonesia, tidak hanya menyediakan PMRI sebagai pendekatan baru untuk mengajar matematika, tetapi juga cara baru berpikir tentang tujuan dan praktek-praktek matematika sekolah. Perlu diakui bahwa hal itu tidak mudah untuk menerapkan teori dan pendekatan PMRI dalam pengajaran dan pembelajaran matematika di sekolah-sekolah Indonesia. Hal ini dikarenakan pendekatan pengajaran PMRI adalah bertentangan dengan kemapanan pembelajaran yang berpusat pada guru dan asumsi transfer pengetahuan kepada siswa.
Banyak komentator di sekolah-sekolah di Indonesia percaya bahwa kebanyakan inovasi diperkenalkan ke sekolah-sekolah selama beberapa dekade tidak memiliki dampak signifikan pada kualitas pendidikan. Oleh karena itu, diasumsikan oleh banyak pengamat, bahwa pendekatan PMRI tidak akan menangkap pikiran guru, dan tidak akan sangat mempengaruhi praktik kelas mereka.
Akan tetapi sekarang kenyataan sudah cukup berbeda. Meskipun beberapa guru belum menguasai filosofi PMRI dan belum mengadopsi pendekatan pengajaran yang direkomendasikan, sebagian besar guru telah mengembangkan persepsi positif dari PMRI. Dan PMRI hadir sebagai metode alternatif yang mungkin akan diperlukan dalam reformasi matematika di sekolah. Guru-guru kini telah tumbuh menerima filosofi PMRI bahwa guru harus membimbing siswa di dalam menemukan konsep-konsep matematika. Meskipun demikian, ada beberapa yang menganggap pendekatan PMRI terlalu radikal dan karena itu tidak pernah diterima oleh sebagian besar guru di Indonesia.
Tim PMRI menyadari bahwa untuk menjadikan sukses dalam menerapkan PMRI, guru dan siswa memerlukan materi kurikulum yang konsisten dengan cita-cita dan konteks Indonesia. Bahan-bahan yang harus diperlukan tersedia dan mendukung siswa berpikir, dan dapat membantu guru membimbing siswa dalam menemukan kembali konsep-konsep matematika. Mereka harus banyak mendukung guru dalam mengatur kegiatan belajar di kelas di mana terdapat keragaman latar belakang murid. Jadi kegiatan dan konteks yang dipilih harus mudah dikenal oleh para siswa, bahasa dan diagram harus sederhana dan jelas, sehingga mereka memberikan dukungan maksimal bagi pengembangan konsep-konsep matematika (Hadi 2002). Salah satu pendekatan untuk memenuhi persyaratan ini adalah bagi para pengembang kurikulum dan penulis buku teks dari universitas untuk bekerja dengan guru.
Secara singkat dapat dikatakan bahwa untuk mengembangkan pendekatan RME dalam pembelajaran matematika di sekolah-sekolah Indonesia perlu dilakukan berbagai perubahan seperti kurikulum, sikap/mental guru, sikap/tingkah laku siswa, sikap/mental pemegang otoritas, pandangan masyarakat terhadap belajar, khususnya dalam belajar matematika(M. Asikin, 2010).
Agar berbagai dampak tersebut akan dapat dikenali secara lebih dini, sehingga penerapan RME di Indonesia dapat berhasil, maka menurut Slettenhaar (2000) dan Marpaung (2001) perlu beberapa upaya, antara lain (i) melaksanakan uji coba di beberapa sekolah sambil melakukan penelitian pengembangan, (ii) menatar guru-guru tentang RME, dan (iii) mengembangkan kurikulum matematika berbasis RME
Untuk mengembangkan dan mengimplementasikan RME di Indonesia memerlukan kerja keras semua pihak. Tidak hanya bertumpu pada para pengembang atau para peneliti di perguruan tinggi. Peran para guru matematika justeru sangat strategis. Oleh karena itu para guru harus terlibat secara aktif dalam proses pengimplementasian RME. Hal ini dimaksudkan untuk menghindari terulangnya berbagai kebijakan di bidang pendidikan yang terkesan selalu “top down”dan hanya karena alasan “proyek” yang didanai dan harus dijalankan(M. Asikin : 2010).


E. Penutup
Secara umum hasil belajar matematika siswa dan penguasaan siswa terhadap konsep-konsep matematika masih berada dalam tataran rendah. Untuk meningkatkan hasil belajar matematika siswa dan penguasaan siswa terhadap konsep dasar matematika guru diharapkan mampu berkreasi dengan menerapkan model ataupun pendekatan dalam pembelajaran matematika yang cocok. Model atau pendekatan ini haruslah sesuai dengan materi yang akan diajarkan serta dapat mengoptimalkan suasana belajar.
Salah satu pendekatan yang membawa alam pikiran siswa ke dalam pembelajaran dan melibatkan siswa secara aktif adalah pendekatan Realistic Mathematic Education (RME). Pendekatan Realistic Mathematic Education (RME) adalah suatu pendekatan yang menempatkan realitas dan pengalaman siswa sebagai titik awal pembelajaran dimana siswa diberi kesempatan untuk mengkonstruksi sendiri pengetahuan matematika formalnya melalui masalah-masalah realitas yang ada. Dengan pendekatan ini siswa tidak hanya mudah menguasai konsep dan materi pelajaran namun juga tidak cepat lupa dengan apa yang telah diperolehnya tersebut. Pendekatan ini pula tepat diterapkan dalam mengajarkan konsep-konsep dasar dan diharapkan mampu meningkatkan hasil belajar siswa. Singkat kata RME yang di Indonesia disebut PMRI dapat dipandang sebagai suatu inovasi dalam pembelajaran matematika di samping pendekakan-pendekatan pembelajaran inovatif yang lainnya..


Dafar Pustaka
Asikin. M. 2001. REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME):Paradigma baru pembelajaran Matematika. Makalah (Online). http:// www.edukasi-online.info/ (diakses pada tanggal 11 April 2010).
Cahyono, Hustiawan Adha. 2009. Penerapan Pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik Indonesia (PMRI) untuk Meningkatkan Prestasi Belajar Siswa Pada Materi Bangun Ruang di Kelas VIII D SMP Negeri 5 Malang. Skripsi, Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang.
Caslan. 2008. Implementasi Model Pembelajaran REALISTIC MATHEMATICEDUCATION (RME) Untuk Meningkatkan Hasil Belajar SiswaKelas VI SD Negeri Limbangan 03 Tahun Pelajaran 2006/2007Dalam Pokok Bahasan Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan. Skripsi. (On line) http://digilib.unnes.ac.id/(diakses pada tanggal 15 September 2007).
Eko Siswono. 2008. PMRI: Pembelajaran Matematika yang Mengembangkan Penalaran,Kreativitas dan Kepribadian Siswa FMIPA UNESA Surabaya (On line) http://tatagyes.files.wordpress.com/(diakses pada tanggal 10 September 2007).
Hadi, Sutarto. 2003. PMR:Menjadikan Pelajaran Matematika Lebih Bermakna Bagi Siswa (Online).http://www.zainuri.wordpress.com/ (diakses pada tanggal 15 September 2007).
Nurliana, Anita. 2008. Usaha Peningkatan Hasil Belajar Matematika Melalui Aktivitas Pembalajaran Dengan REALISTIC MATHEMATIC EDUCATION (RME) Pada Pokok Bahasan Bangun Ruang di SMP Kelas VIII. Skripsi: UMS.
R.Soedjadi dan Sutarto Hadi. 2004: PMRI dan KBK dalam Era Otonomi . Buletin PMRI Edisi III. Bandung. www.pmri.or.id/buletin/
Ruseffendi, ET. 1988. Pengantar Kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Tarsito. Bandung.
Saranggih, Sahat. 2008. Menumbuhkembangkan Berpikir Logis dan Sikap Positif terhadap Matematika melalui Pendekatan Matematika Realistik. Jurnal Ilmiah
Sembiring, Robert K., Sutarto Hadi, Maarten Dolk 2008 Reforming mathematics learning in Indonesian classrooms through RME ZDM Mathematics Education (2008) http://www.springerlink.com/
Soedjadi, R. 1999. Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Depdikbud. Jakarta.
Suharta. 2005. Matematika Realistik Apa dan Bagaimana. (Online). http://www .depdiknas.go.id (diakses pada tanggal 15 September 2007).

Yuniati, Asri. 2008. Keefektifan Model Pembelajaran Realistic Mathematics Education (RME) dan Creative Problem Solving (CPS) terhadap Kemampuan Pemecahan Masalah Peserta Didik Kelas VIII SMP Negeri 11 Semarang. Skripsi, Jurusan Matematika. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri Semarang Read More..

Nilai Perkembangan IPTEK

NILAI-NILAI DALAM PERKEMBANGAN ILMU PENGETAHUAN

(Tinjauan dari Filsafat Ilmu)

Oleh : Darsono & Rully Veranika

Abstrak : Terdapat dua pandangan terhadap nilai-nilai (moral) tentang ilmu. Pertama, menginginkan bahwa ilmu harus bersifat netral terhadap nilai-nilai baik secara ontologism maupun aksiologis. Kedua, netralitas ilmu terhadap nilai-nilai banyalah terbatas pada metafisik keilmuan, sedangkan dalam penggunaannya bahkan pemilihan obyek penelitian, maka kegiatan keilmuan harus berlandaskan asas-asas moral. Dalam perkembangannya ilmu bukan saja menjadi berkah bagi kehidupan manusia, akan tetapi juga mendatangkan kekawatiran dan kesengsaraan terhadap manusia. Seperti bayi tabung, kloning pada manusia, operasi ganti kelamin, dan pengembangan teknologi nuklir hingga sekarang masih menjadi pro dan kontra. Hal-hal tersebut dalam penerapannya hendaknya didasarkan pada aspek-aspek agama , aspek etika, aspek hukum atau legalitas dan aspek sosial atau kemasyarakatan. Sehingga ilmu secara moral harus ditujukan untuk kebaikan manusia, membantu meningkatkan kesejahteraan kehidupan manusia tanpa merendahkan martabat atau mengubah hakikat kemanusiaan.

Kata Kunci :Nilai-nilai, Ilmu Pengetahuan, Bayi tabung, Kloning pada manusia, Operasi ganti kelamin, Nuklir.

A. Pendahuluan

Ilmu dimulai dari pengalaman manusia dan berhenti di batas pengalaman manusia pula. Bagai kita memandang jagad raya ini. Seluas apakah jagad raya itu? Seluas pengetahuan kita, sejauh mata kita memandang, dan sedalam ilmu yang kita punya. Ilmu tidak mempelajari sesuatu di luar jangkauan pengalaman manusia. Ilmu tidak mempelajari hal surga dan neraka, karena surga dan neraka berada di luar jangkauan pengalaman manusia. Demikian pula ilmu tidak mempelajari sebab musabab kejadian terciptanya manusia, karena hal tersebut juga berada diluar jangkauan pengalaman manusia. Hal-hal yang terjadi sebelum manusia hidup dan setelah manusia mati berada di luar penjelajahan ilmu.

Dalam batas pengalaman manusiapun, ilmu hanya berwenang dalam menentukan benar atau salah suatu pernyataan. Tentang baik dan buruk, ilmu berpaling kepada sumber-sumber moral. Sedangkan tentang indah dan jelek, ilmu berpaling kepada pengkajian estetik (Jujun SS., 2001 : 92).

Ilmu sebagai alat pembantu manusia dalam menanggulangi masalah-masalah dalam kehidupannya. Dengan menggunakan ilmu diharapkan untuk kita dapat mengatasi suatu penyakit, membangun gedung megah, membangun jembatan, membangun irigasi, membangkitkan tenaga listrik, menciptakan berbagai kendaraan, menciptakan alat komunikasi, merekayasa genetika pada hewan dan tumbuhan, dan sebagainya. Suatu kenyataan bahwa peradaban manusia sangat dipengaruhi oleh kemajuan ilmu dan teknologi.

Namun karena ilmu pula kita dihadapkan kepada suatu petaka dan kesengsaraan. Karena perkembangan ilmu manusia dihadapkan kepada suatu kekawatiran dan kegelisahan. Perkembangan ilmu di bidang nuklir telah membawa kekawatiran banyak pihak akan musnahnya dunia karena kedahsyatannya. Perkembangan ilmu di bidang rekayasa genetika (bila diterapkan pada manusia) membawa suatu kegelisahan akan terciptanya manusia yang tidak beradab yang jauh dari nilai moral ataupun nilai agama. Dengan ilmunya seolah manusia ingin menciptakan manusia, yang akan mengubah hakikat kemanusiaan itu sendiri.

Oleh karena adanya kegelisahan dan kekawatiran terhadap perkembangan ilmu pengetahuan tersebut, perlu adanya tinjauan baik dari aspek agama, aspek etika, aspek hukum atau legalitas dan aspek sosial atau kemasyarakatan. Apakah perkembangan ilmu pengetahuan bebas dari nilai-nilai moral? Bagaimana nilai-nilai perkembangan ilmu pengetahuan ditinjau dari berbagai aspek tersebut?

B. Ilmu dan Moral

Ilmu tanpa agama adalah buta, demikian kata Einstein. Kebutaan moral dari ilmu itulah yang membawa kemanusiaan kejurang malapetaka dan kesengsaraan. Tak selamanya ilmu adalah suatu berkah.

Oleh karena ilmu, telah melahirkan 40.000 kepala nuklir berkekuatan 1.000.000 kali bom atom di Hiroshima, yang mampu membuat bumi ini hancur berkeping-keping. Ilmu pula yang membawa kita berada diambang kemajuan yang mempengaruhi reproduksi dan penciptaan manusia itu sendiri. Bila ini terjadi, ilmu bukan lagi sebagai sarana yang membantu manusia mencapai tujuan hidupnya, namun kemungkinan akan mengubah hakikat manusia itu sendiri dan ilmu akan menciptakan tujuan hidup itu sendiri.

Tidak ada yang salah dengan ilmu. Tergantung bagaimana menggunakannya, kearah mana ilmu dikembangkan, dan sampai batas mana wewenang penjelajahan ilmu. Bagai sepucuk pistol. Ditangan penjahat akan dipergunakan untuk merampok, membunuh dan juga meneror. Tetapi ditangan seorang polisi, dipergunakan untuk melawan kejahatan itu sendiri. Jadi tergantung bagaimana menggunakan pistol itu. Tergantung siapa yang menggunakan, dan bagaimana moral penggunanya. Bila dipergunakan untuk kejahatan apakah si pistol harus dihukum. Begitu pula sebaliknya, bila dipergunakan untuk menumpas kejahatan, tidak lantas si pistol memperoleh penghargaan.

Demikian pula dalam menyingkapi masalah ilmu. Para ilmuwan berpaling kepada hakikat moral. Moral berkaitan dengan nilai-nilai. Dihadapkan kepada masalah moral, para ilmuwan sendiri terbagi menjadi dua golongan pendapat. Golongan pertama menginginkan bahwa ilmu harus bersifat netral terhadap nilai-nilai baik secara ontologism maupun aksiologis. Tugas ilmuwan adalah menemukan pengetahuan dan terserah kepada orang lain untuk mempergunakannya. Golongan kedua sebaliknya berpendapat bahwa netralitas ilmu terhadap nilai-nilai banyalah terbatas pada metafisik keilmuan, sedangkan dalam penggunaannya bahkan pemilihan obyek penelitian, maka kegiatan keilmuan harus berlandaskan asas-asas moral. Golongan kedua berpendapat bahwa ilmu secara moral harus ditujukan untuk kebaikan manusia tanpa merendahkan martabat atau mengubah hakikat kemanusiaan (Jujun SS, 2001 : 235).

Kenetralan seorang ilmuwan disebabkan anggapan bahwa ilmu pengetahuan merupakan rangkaian penemuan yang mengarah kepada penemuan selanjutnya, melalui proses kumulatif secara teratur. Dalam aspek-aspek lain tentang apa yang akan ditelaah dan bagaimana ilmu pengetahuan dipergunakan, seorang ilmuwan terikat oleh moral. Akan tetapi ia tidak boleh menyembunyikan hasil penemuan karena kebenaran tidak boleh disembunyikan.

Berkaitan dengan ilmu dan moral tersebut, berikutnya akan kita tinjau nilai-nilai dalam perkembangan ilmu pengetahuan sebagai berikut. Lanjutnya ntar yah, .......

Read More..

Filsafat Geometri

TINJAUAN “GEOMETRI”

BERDASARKAN FILSAFAT MATEMATIKA

(Makalah : Disusun sebagai tugas pada mata kuliah Filsafat Ilmu)

Oleh : Darsono (NIM 0103509003)

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kata geometri berasal dari bahasa Yunani (greek) yang berarti ukuran bumi. Maksudnya mencakup mengukur segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian dimulai dari pengukuran praktis yang diperlukan untuk pertanian orang – orang Babylonia dan Mesir. Kemudian geometri orang Mesir dan Babyloni ini diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volume. Menurut kamus Bahasa Indonesia, “Geometri” merupakan cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang; atau geometri juga berarti ilmu ukur.

Geometri merupakan salah satu aspek matematika di samping aljabar, statistika dan peluang, logika, trigonometri, dan kalkulus. Dalam pembelajaran matematika di sekolah, geometri lebih berkenaan dengan bangun-bangun geometri, garis dan sudut, kesebangunan, kekongruenan, transformasi, dan geometri analitis. Geometri merupakan bagian dari matematika yang mempelajari pola-pola visual, yang akan menghubungkan matematika dengan dunia nyata. Geometri juga dapat dipandang sebagai sistem matematika yang menyajikan fenomena yang bersifat abstrak (tidak nyata), akan tetapi dalam pembelajarannya bertahap didahului dengan benda-benda kongkret sebagai media sesuai dengan tahap perkembangan anak.

Obyek geometri merupakan hal yang abstrak yang tidak dapat diraba, dipegang, atau diamati secara langsung melalui panca indera. Misalnya bila kita menunjuk sebuah persegipanjang dan kemudian menggambarkan atau membuatnya dengan mnggunakan lidi atau kawat, sesungguhnya itu bukanlah persegipanjang yang dimaksudkan di dalam geometri. Ia hanyalah sebuah model persegipanjang. Sedangkan persegipanjang sebenarnya hanya ada dalam alam pikir manusia. Siapa yang bisa menetapkan seberapa besar garis atau sisi sebuah persegipanjang. Demikian pula bagaimana dengan ketebalan sebuah persegipanjang. Hal-hal tersebut tak pernah terungkap di saat membicarakan persegipanjang dan juga benda-benda geometri yang lainnya. Akan tetapi mereka ada dan dapat dipelajari sebagai materi matematika yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari dan juga dalam pengembangan ilmu dan teknologi.

Peranan geometri tidak diragukan lagi dari masa perkembangannya di Mesir dan Basilonia untuk kepentingan praktis mereka seperti membuat bangunan dan menghitung luas tanah hingga sekarang telah memberikan sumbangan yang besar dalam perkembangan ilmu dan teknologi modern. Piramida-piramida bangsa Mesir kuno yang dibangun 4000 tahun yang lalu, masih merupakan contoh yang paling kuat dari struktur yang menggunakan bentuk-bentuk segitiga. Bangunan batu yang sangat besar ini terdiri dari dinding segitiga miring yang diatur di atas dasar persegi.

Kalaupun obyek geometri itu abstrak, akan tetapi mereka “ada”. Adalah sebuah kenyataan bahwa geometri sebagai suatu aspek matematika yang sangat penting dan berperan dalam kehidupan. Geometri menjadi materi yang ingin diketahui secara mendasar dan fundamental untuk pengembangan matematika itu sendiri dan pengembangan kemampuan berpikir manusia secara logis. Oleh karena itu perlu adanya tinjauan tentang ”geometri” tersebut berdasarkan filasafat matematika. Perlu ada tinjauan tentang geometri terhadap aspek-aspek ontologi, epistimologi dan aksiologi matematika. Dengan demikian diharapkan geometri menjadi lebih bermakna, lebih bermanfaat dan pengembangannya tidak perlu diragukan lagi.

B. Permasalahan

Berdasarkan latar belakang perlunya tinjauan geometri berdasarkan filsafat matematika, maka perlu kiranya lebih mengenal tujuan dan objek geometri, perkembangan geometri, dan hubungannya dengan filsafat matematika. Sehingga yang menjadi permasalahan dalam makalah ini adalah :

1. Bagaimana permulaan geometri berkembang ?

2. Apakah tujuan, ruang lingkup dan obyek geometri ?

3. Bagaimana tinjauan atas geometri berdasarkan filsafat matematika ?

Ketiga permasalahan tersebut akan dibahas pada bab II dan dari pembahasan tersebut disimpulkan pada bab III.

C. Tujuan dan Manfaat

1. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

a. Mengetahui perkembangan geometri dari permulaan munculnya ilmu geometri hingga perkembangan geometri di masa sekarang.

b. Mengetahui tujuan, ruang lingkup, dan objek dari geometri.

c. Meninjau dan mengkaji tentang geometri berdasarkan filsafat matematika.

2. Manfaat

Makalah ini akan sangat bermanfaat bagi pemerhati dan pengguna ”geometri” dan terutama bagi mahasiswa program studi Pendidikan Dasar Pasca Sarjana Unnes, untuk dapat memperlakukan geometri dengan lebih bijaksana dan mengembangkan serta memanfaatkannya sesuai dengan bidang dan penerapannya.

BAB II

TINJAUAN GEOMETRI BERDASARKAN FILSAFAT MATEMATIKA

A. Permulaan Geometri

Pada awalnya geometri yang lahir dan berkembang di Mesir dan Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan bangunan yang kokoh dan besar. Teknik-teknik geometri yang berkembang pada masa itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif, akan tetapi cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan. Berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri saat itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada abad ke-9. Dalam Papirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegipanjang, segitiga siku-siku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas lingkaran.

Matematikawan yang pertama kali tidak puas terhadap metode yang didasari semata-mata pada pengalaman adalah Thales (640 – 546 SM). Sehingga masyarakat sekarang menghargai Thales sebagai orang yang selalu berkata ”Buktikan itu!” dan bahkan ia selalau melakukan pembuktian tersebut (Wakyudin, 2004: 137).

Sepeninggal Thales muncullah Pythagoras (582 – 507 SM) berikut pengikutnya yang dikenal dengan sebutan Pythagorean melanjutkan lengkah Thales. Para Pythagorean menggunakan metode pembuktian untuk membuktikan Teorema Pythagoras dan teorema-teorema jumlah sudut dalam suatu poligon, sifat-sifat dari garis-garis yang sejajar, teorema tentang jumlah-jumlah yang tidak dapat diperbandingkan, serta teorema tentang lima bangun padat beraturan.

Hasil kerja dan prinsip Thales telah menandai awal dari sebuah era kemajuan matematika yang mengembangkan pembuktian deduktif sebagai alasan logis yang dapat diterima. Pembuktian deduktif diperlukan untuk menurunkan teorema dari postulat dan selanjutnya untuk disusun pernyataan baru yang logis. Pengembangan pembuktian deduktif mencapai puncaknya dengan lahirnya buku karya Euclid yang diberi judul Element.

Element menjadi sebuah karya yang maha penting dalam sejarah masyarakat dunia yang kebanyakan dari pekerjaan itu bersifat oroginal, sebagai metode deduktif dengan mendemonstrasikan sebagaian besar pengetahuan yang diperlukan melalui penalaran. Teorema ke-5 dalam buku ini cukup dikenal, yaitu sudut alas dalam sebuah segitiga samakaki (isosceles) adalah kongruen. Metode yang sekarang lebih sering digunakan untuk membuktikan teorema ini memerlukan konstrukti suatu garis bagi sudut melalui titik sudutnya.

Dalam buku Element, Euclid menulis banyak pembuktian dari teori-teori yang sudah terkenal. Karya Euclid sangat berpengaruh sampai saat ini sehingga dalam geometri untuk garis, titik, bentuk, dan bidang-bidang namanya digunakan sebagai ”geometri Euclid”.

Demikian selanjutnya, selama lebih kurang empat abad terakhir Element telah mengalami kritikan dan pujian hingga lambat laun lebih disempurnakan. Hasil dari berbagai penyempurnaan itu lahirlah geometri analitik, geometri projektif, topologi, geometri non-Euclid, logika, dan kalkulus.

B. Tujuan, Ruang Lingkup dan Objek Geometri

Geometri merupakan salah satu aspek mata pelajaran Matematika di sekolah, di samping aspek bilangan, aljabar, statistika dan peluang, logika, trigonometri, dan kalkulus.

Salah satu tujuan diajarkannya geometri di sekolah, menurut Suydan dalam Kusni (1999 : 3) adalah mengembangkan kemampuan berpikir logis. Berkaitan dengan tujuan ini, pengenalan geometri mempunyai tujuan dasar untuk memberikan kesempatan siswa menganalisis lebih jauh dunia tempat hidupnya serta memberikan sejak dini landasan berupa konsep-konsep dan peristilahan yang diperlukan pada pendidikan jenjang berikutnya. Menurut Kusni, dengan mempelajari geometri sekaligus dapat menumbuhkembangkan kesenangan intelektual yang sesungguhnya terhadap matematika.

Geometri menjadi materi penting karena melibatkan kemampuan kognitif siswa. Soemadi (2000: 1) mengatakan bahwa pada dasarnya tujuan geometri adalah mengembangkan kemampuan berpikir logis, mengajar membaca dan menginterprestasikan argumen-argumen matematika, menanamkan pengetahuan (geometri) yang diperlukan untuk studi lanjut dan mengembangkan kemampuan keruangan.

Idealnya, pembelajaran geometri tidak hanya mencakup aspek-aspek formal yang diperlukan untuk sekolah menengah, melainkan juga memfokuskan pada lingkungan fisik siswa. Siswa diberi kesempatan menyelidiki, mencoba, menemukan, menduga berbagai ide, dan didorong untuk merumuskan pernyataan yang tepat, logis, serta memeriksa kebenaran kesimpulan.

Permasalahan yang kemudian muncul dalam pembelajaran geometri diantaranya adalah berkaitan dengan objek geometri adalah benda-benda pikir yang abstrak, sedangkan tingkat perkembangan berpikir siswa berpikir secara kongkret.

Menurut Piaget dalam Ruseffendi (1994 : 19), tahap pertama anak belajar geometri adalah topologis. Mereka belum mengenal jarak, belum mengenal kelurusan, dan semacamnya. Mereka baru mengenal apakah sesuatu itu ada di dalam atau ada di luar. Demikian pula pada tahap berpikir kongkrit ke bawah anak-anak masih memerlukan bantuan benda-benda kongkret. Menurut Van Hiele dalam Ruseffendi, berdasarkan hasil penemuannya mengemukakan bahwa siswa belajar geometri melalui 5 tahap : pengenalan, analisis, pengurutan, deduksi, dan keakuratan. Agar siswa belajar geometri dengan mengerti, mereka harus memahami tahap-tahap yang lebih rendah terlebih dahulu.

Memperhatikan tingkat perkembangan berpikir siswa dari berpikir secara kongkret menuju tingkat berpikir abstrak, maka teknik pembelajaran pada masing-masing jenjang pendidikan menjadi berbeda. Sedangkan ruang lingkup materi geometri tersebut mungkin bisa sama. Misalnya materi bangun datar, telah dipelajari dari jenjang SD, SMP, SMA, dan hingga perguruan tinggi terus berkembang menjadi geometri analit datar. Ruang lingkup materi tentang bangun datar, akan tetapi cara penyampaian dan tingkat kedetailannya berbeda dari satu jenjang ke jenjang berikutnya.

Secara umum ruang lingkup geometri adalah mengenai garis dan sudut, bangun-bangun datar, bangun-bangun ruang, kesimetrian, kesebangunan, kekongruenan, dan geometri analitis. Dalam perkembangannya, geometri seperti lebih merujuk ke bentuk-bentuk yang sudah pasti seperti segitiga, segiempat, lingkaran, bangun ruang seperti kubus, balok, prisma, bola dan sebaginya. Di dalam bentuk-bentuk ini terdapat rumus-rumus yang mendasarinya. Termasuk juga penerapannya dalam sistem koordinat Cartesius baik untuk dimensi dua ataupun dimensi tiga.

Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika menengah, karena banyaknya konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Dari sudut pandang psikologi, geometri merupakan penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi. Geometri juga merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika.

Usiskin mengemukakan bahwa:

1. geometri adalah cabang matematika yang mempelajari pola-pola visual,

2. geometri adalah cabang matematika yang menghubungkan matematika dengan dunia fisik atau dunia nyata,

3. geometri adalah suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan

4. geometri adalah suatu contoh sistem matematika.

Tujuan pembelajaran geometri adalah agar siswa memperoleh rasa percaya diri mengenai kemampuan matematikanya, menjadi pemecah masalah yang baik, dapat berkomunikasi secara matematik, dan dapat bernalar secara matematik. Sedangkan Budiarto menyatakan bahwa tujuan pembelajaran geometri adalah untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis, mengembangkan intuisi keruangan, menanamkan pengetahuan untuk menunjang materi yang lain, dan dapat membaca serta menginterpretasikan argumen-argumen matematik.

C. Filsafat Matematika dan Tinjauan Geometri

Menurut Gie dalam Dwin Gideon (2004 : 216), filsafat matematika merupakan sudut pandang yang menyusun dan mempersatukan pelbagai bagian dan kepingan matematik berdasarkan beberapa asas dasar. Persoalan dalam filsafat matematika dapat diperinci menjadi tujuh persoalan sebagai bertikut:

1) Epistemologi matematik, yang menelaah matematika berdasarkan berbagai segi pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat alami, batas, asumsi dan landasan.

2) Ontologi matematik, yang mempersoalkan cakupan pernyataan matematik sebagai dunia nyata atau bukan.

3) Metodologi matematik, yang menelaah metode khusus yang dipergunakan dalam matematika.

4) Struktur logia matematik, yang membahas matematika sebagai struktur yang bercorak logis, yaitu struyktur yang tunduk pada kaidah logika (law of logic), dan yang mencapai kesimpulan logis (logical conclusions) tanpa menghiraukan keadaan dunia empirik.

5) Implikasi etis matematis, yang berkaitan dengan dampak yang ditimbulkan oleh penggunaan matematika dalam pelbagai bidang kehidupan, yang dipandang dari sudut pandang etika.

6) Aspek estetis matematik, yang berkaitan dengan ciri seni dan keindahan matematika, yang diukur berdasarkan orisinalitas ide, kesederhanaan dalil, dan kecemerlangan pemikiran; dan

7) Peranan matematik dalam sejarah peradaban, yang meliputi analisis, deskripsi, evaluasi, dan interpretasi tentang peranan matematik dalam peradaban sejak zaman kuno hingga abad modern.

Pada geometri, hal yang berhubungan dengan dengan filsafat adalah keberadaan objeknya. Hal ni berhubungan dengan persoalan tentang ”ada”, sehingga berada pada ranah ontologi. Matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek ontologi telah berpandangan untuk mengkaji bagaimana mencari inti yang yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental. Pembahasan geometri meliputi benda-benda abstrak sebagai objeknya. Pada kenyataannya, benda-benda abstrak tersebut dapat dimodelkan dengan benda-benda kongkret sebagai objek pengamatan, khususnya pada tahap awal pembelajaran tentang geometri di SD ataupun SMP. Pemodelan tersebut tetap harus memperhatikan batasan-batasan atau definisi atau pengertian dari benda-benda geometri yang dimaksud.

Sehingga upaya mengkongkretkan banyalah untuk mempermudah dalam penginderaan dan diarahkan untuk tidak merancukan atas definisi atau pengertian benda-benda geometri yang sebenarnya. Dengan pengamatan inderawi, para subjek pembelajar diharapkan memahami pengetahuan melalui pengenalan dan pengertian. Pada akhirnya diarahkan untuk memahami objek geometri sebenarnya yang bersifat abstrak dan hanya ada di alam pikiran.

Pada ranah epistemologi, matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Dengan konsep-konsep yang kongkrit, kontektual, dan terukur matematika dapat memberikan jawaban secara akurat. Perkembangan struktur mental seseorang bergantung pada pengetahuan yang diperoleh siswa melalui proses asimilasi dan akomodasi. Penalaran matematika adalah penalaran induktif dan deduktif . Berpikir induktif diartikan sebagai berpikir dari hal-hal khusus menuju umum, berpikir deduktif diartikan sbagai berpikir dari hal khusus menuju umum. Dalam geometri upaya memahami hal-hal yang abstrak guna memperoleh penyelesaian dilakukan melalui pembelajaran yang kontekstual dan pemodelan yang lebih kongkret. Pada asal mula lahirnya geometri, berawal dari upaya untuk mencari solusi terhadap masalah-masalah kongkret dalam kehidupan manusia. Berawal dari keinginan untuk membuat bangunan yang megah dan indah, mempermudah pengukuran, mengakuratkan perhitungan, dan menyelesaikan masalah keruangan lainnya.

Sifat alami geometri yang abstrak berkaitan dengan bangun-bangun pada matematika, berawal dari persoalan nyata kehidupan manusia. Sehingga hubungan antara realitas dan penyusunan pengertian manusia berhubungan erat dengan fenomenologi. Menurut Edmund Hussrel dalam Dwin Gideon (2004 : 217), seluruh ciri benda yang masuk ke dalam kesadaran sebagai fenomena. Fenomena bersifat intensional, yang berarti selalu berhubungan dengan struktur kesadaran. Kesadaran senantiasa terarah menampakkan diri, sehingga terjadi korelasi antara kesadaran dengan fenomena.

Di dalam kesadaran, fenomena berwujud sebagai perwakilan atas objek. Sartre menamakan perwakilan atas objek di dalam kesadaran dengan istilah imaji. Konsep imaji Sartre mempunyai dasar pengertian pada fenomena dan konstitusi Husserl, yang terlihat pada penjelasan :

“Dengan demikian kata imaji hanya menunjukkan hubungan kesadaran dengan obyek; dengan perkataan lain, imaji berarti cara di mana objek menampakkan dirinya dalam kesadaran, atau suatu cara dimana kesadaran menghadirkan objek

untuk kesadaran itu sendiri” (Sartre dalam Dwin Gideon, 2004 : 218).

Imaji dalam kesadaran mempengaruhi proses kognitif terhadap keberadaan objek yang tidak bersifat tunggal. Di saat indera menangkap objek geometri atau pemodelannya, persepsi akan menangkap keseluruhan objek sesuai dengan setyiap imaji dan menghasilkan imaji tentang onjek yang dilihat beserta keadaan lain seperti sifat-sifatnya. Sehingga di saat berhadapan dengan objek geometri yang sebenarnya (abstrak) yang memiliki kesamaan ciri-ciri dengan hasil pengamatan sebelumnya, kesadaran akan membentuk imaji dari objek geometri tersebut. Berdasarkan gagasan tentang imaji, objek-objek tersebut mendapati landasan ontologinya.

Geometri sebagai ilmu abstrak, dalam perlembangannya berperan besar terhadap kemajuan teknologi untuk memecahkan masalah praktis dan moral. Sehingga disamping mendapati landasan ontologinya, geometri dengan mudah juga akan mendapati landasan aksiologinya.

Aksiologi yaitu nilai-nilai, ukuran-ukuran mana yang akan dipergunakan dalam seseorang mengembangkan ilmu. Aksiologi merupakan filsafat nilai, menguak baik buruk, benar-salah dalam perspektif nilai. Aksiologi matematika sendiri terdiri dari etika yang membahas aspek kebenaran, tanggungjawab dan peran matematika dalam kehidupan, dan estetika yang membahas mengenai keindahan matematika dan implikasinya pada kehidupan yang bisa mempengaruhi aspek-aspek lain terutama seni dan budaya dalam kehidupan. Jadi, jika ditinjau dari aspek aksiologi, matematika seperti ilmu-ilmu yang lain, yang sangat banyak memberikan kontribusi perubahan bagi kehidupan umat manusia di jagat raya nan fana ini. Segala sesuatu ilmu di dunia ini tidak bisa lepas dari pengaruh matematika.

Dimulai dengan pertanyaan dasar untuk apa penggunaan pengetahuan ilmiah? Apakah manusia makin cerdas dan makin pandai dalam mencapai kebenaran ilmiah,maka makin baik pula perbuatannya. Dengan kemajuan ilmu dan teknologi maka pemenuhan kebutuhan dapat diperoleh secara cepat, tepat dan mudah. Tetapi ada juga yang menimbulkan bencana bagi manusia seperti perang, senjata nuklir dan lain-lain.

Bagaimana batas wewenang penelitian keilmuwan dan kemana perkembangan ilmu harus diarahkan, harus ditampakkan interaksi ilmu dan moral. Dari ilmu yang abstrak berubah menjadi teknologi untuk memecahkan masalah praktis dan moral. Begitu juga matematika kita mempelajarinya secara abstrak tetapi dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari sebagai ilmu pengetahuan. Manusia adalah makhluk yang berpikir artinya manusia selalu berpikir/memikirkan masalah secara rasional (pemikiran logis). Sikap seorang ilmuwan didasarkan pada etika dan agama berarti tanggungjawab terhadap Tuhan, masyarakat dan diri sendiri. Berkaitan dengan hal tersebut matematika dipandang sebagai ilmu abstrak yang tidak bebas nilai dan moral, sehingga hasil pemikiran seorang matematikawan bisa bermanfaat bagi umum. Tidak dapat menerima sesuatu dengan asal-asalan tetapi harus dipikir secara mendalam dan teliti.

Geometri sebagai aspek dari matematika tidak dapat hanya dipandang sebagai bagian dari matematika. Hal ini karena adanya keterkaitan antar aspek yang satu dengan yang lain dalam matematika untuk secara bersama-sama memberikan sumbangan dalam kemajuan ilmu dan teknologi. Geometri bersama matematika bertujuan untuk : 1) Melatih cara berfikir dan benalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonistensi, 2) Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba, 3) Mengembangkan kemampuan pemecahan masalah, dan 4) Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau memgkomunikasikan gagasan melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta, dalam menjelaskan gagasan.

Sedangkan nilai-nilai matematika dapat dilihat pada penggunaanya seperti : 1) Digunakan dalam bidang sains dan teknik, 2) Untuk penelitian masalah tingkah laku manusia, 2) Membantu manusia dalam berdagang dan bidang perekonomian, 3) Ilmu matematikan juga digunakan dalam bidang komputer, 4) Membantu manusia berpikir secara matematis dan logis, dan 5) Dengan bilangan, manusia dapat menentukan kuantitas.

Pada aspek estetika yang membahas mengenai keindahan geometri dan implikasinya pada kehidupan yang bisa mempengaruhi aspek-aspek lain terutama seni dan budaya pada kehidupan. Banyak bangunan megah dan indah dihasilkan dari penerapan geometri pada bidang arsitektur. Bentuk geometris dalam sebuah perumahan modern menunjukkan area-area yang melingkar, garis lurus, konstruksi atap yang berbentuk segitiga, kotak-kotak yang rapi ataupun halaman rumah berbentuk persegipanjang, dan banyak bangun yang simetris terhadap suatu garis. Alam sendiri sama sederhananya dalam hal kesimatrian dan keindahannya, seperti halnya dalam sayap kupu-kupu yang memiliki bentuk identik. Bentuk-bentuk seperti lingkaran, persegipanjang, spiral, dan segitiga bisa kita temukan dalam peninggalan bangsa-bangsa prasejarah, meskipun sebenarnya pola-pola ini telah ada di alam sebelum manusia pertama tercipta. Lompatan pemahaman mengenai geometris merupakan hal yang benar-benar penting dalam sejarah matematika, juga dalam membuat landasan dari teori-teori spektakuler mengenai pergerakan planet-planet, perspektif, dan sebagainya.

Titik-titik, garis-garis, , sudut-sudut, dan bidang-bidang dijadikan sebagai dasar dari bentuk-bentuk geometris. Ketertarikan orang-orang Yunani terhadap geometri memulai sebuah renovasi dalam matematika. Misalnya, dalam sarang lebah madu, kristal-kristal, dan atom. Keduanya juga digunakan dalam bangunan-bangunan yang kita dirikan, mulai dari jembatan-jembatan besar sampai dengan satelit-satelit yang mengorbit ke bumi.

BAB III

PENUTUP

A. Simpulan

Dari uraian dan pembahasan pada bab II makalah ini, dapat ditarik beberapa simpulan sebagai berikut.

1. Permulaan geometri lahir dan berkembang di Mesir dan Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu untuk memecahkan masalah kehidupan sehari-hari secara intuitif dan berkembang pembuktian deduktif sebagai alasan logis yang dapat diterima.

2. Tujuan geometri adalah mengembangkan kemampuan berpikir logis, mengajar membaca dan menginterprestasikan argumen-argumen matematika, menanamkan pengetahuan (geometri) yang diperlukan untuk studi lanjut dan mengembangkan kemampuan keruangan.

3. Ruang lingkup geometri adalah mengenai garis dan sudut, bangun-bangun datar, bangun-bangun ruang, kesimetrian, kesebangunan, kekongruenan, sistem kordinat dan transformasi, dan geometri analitis. Sedangkan objek geometri merupakan benda-benda pikir yang abstrak yang hanya ada di alam pikiran manusia.

4. Tinjauan ontologi melihat bahwa geometri merupakan sesuatu yang bereksistensi karena dapat ditangkap oleh pengenalan manusia, yang berawal dari pengamatan objek kongkret sebagai model menuju pengetahuan abstrak dalam kesadaran manusia.

5. Geometri mengembangkan pemikiran logis melalui objek abstrak yang berawal dari keinginan menyelesaikan masalah kehidupan nyata menuju kepada peranannya dalam bidang ilmu dan teknologi. Pada ranah epistemologi ini, kebenaran pengetahuan geometri pada akhirnya harus dapat dibuktikan secara deduktif sehingga penarikan kesimpulan dapat dipertanggungjawabkan kesahihannya secara matematis.

6. Geomerti berperan dalam pengembangan ilmu dan teknologi. Geometri juga telah memberikan sumbangan tentang cara berpikir. Keindahannya terpancar pada penggunaannya dalam bidang pembangunan. Sehingga dengan mudah geometri mendapati landasan aksiologinya.

B. Saran

Pada akhir makalah ini, penulis memberikan beberapa saran sebagai berikut:

1. Geometri telah mendapatkan landasan pada tiga ranah kajian filsafat ilmu (matematika) yaitu ontologi, epistemologi, dan aksiologi. Oleh karenanya geometri agar dapat dikembangkan secara bijak sehingga lebih bermanfaat baik untuk matematika itu sendiri ataupun perkembangan ilmu yang lain serta berperan dalam perkembangan kemajuan teknologi.

2. Tinjauan atas geometri pada makalah ini masih bersifat umum, sehingga diperlukan adanya tinjaun atas geometri secara lebih terperinci untuk tiap-tiap materi geometri berdasarkan filsafat matematika.

DAFTAR REFERENSI

Benny, Andrianto. Filsafat matematika. (On Line) diambil tanggal 14 September 2009.

Gideon, Dwin M. Tinjauan atas ”Fungsi” Berdasarkan Filsafat matematika. Jurnal Filsafat Ilmu, 2004. (On line) diambil tanggal 14 September 2009

Kusni. Pembelajaran Geometri Berbasis Konstruktivis Realistik. Makalah untuk seminar sehari MGMP Matematika. Pekalongan, 1999

Ruseffendi, E.T. Pendidikan Matematika 3. Jakarta :Depdikbud, 1994

Suriasumantri, Jujun S. Filsafat Ilmu Sebuah Pengantar Populer. Jakarta : Pustaka Sinar Harapan, 2001.

Wahyudin, Sudrajat. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta : Tarity Samudra Berlian, 2003

Wahyudin, Sudrajat. Ensiklopedi Matematika untuk SMP. Jakarta : Tarity Samudra Berlian, 2003

...............Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta : Balai Pustaka, 1995

Read More..